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(2013•广阳区一模)九年级数学兴趣小组近期开展了对运动型问题的探究.小明同学提供了一个这样的背景:如图,在▱ABCD中,AB=AC=10cm,sin∠ACB=45,动点O从A出发以1cm/s的速度沿AC方向向点C
 更新时间:2024-04-27 12:05:47
1人问答
问题描述:

(2013•广阳区一模)九年级数学兴趣小组近期开展了对运动型问题的探究.小明同学提供了一个这样的背景:如图,在▱ABCD中,AB=AC=10cm,sin∠ACB=45,动点O从A出发以1cm/s的速度沿AC方向向点C匀速运动,同时线段EF从与线段CB重合的位置出发以1cm/s的速度沿BA方向向点A匀速运动.在运动过程中,EF交AC于点G,连接OE、OF.设运动时间为ts(0<t<10),请你解决以下问题:

(1)当t为何值时,点O与点G重合?

(2)当点O与点G不重合时,判断△OEF的形状,并说明理由.

(3)当0<t<5时,

①在上述运动过程中,五边形BCEOF的面积是否为定值?如果是,求出五边形BCEOF的面积;如果不是,请说明理由.

②△EOG的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.

胡昊回答:
  (1)在平行四边形ABCD中,DC=AB,DA∥CB,   ∵AB=AC,   ∴AC=DC,   ∴∠CDA=∠CAD,   又∵EF∥CB,   ∴DA∥EF,   ∴∠CEG=∠CDA,∠CGE=∠CAD,   ∴∠CEG=∠CGE,   ∴CE=CG,   ∴CE=CG=AO=t,   ∴当点O与点G重合时,t+t=10,   解得:t=5;   (2)当点O与点G不重合时△OEF为等腰三角形,   理由:由(1)知:CE=AO,平行四边形ABCD中,AB∥CD,   ∴∠OAF=∠OCE,   ∵EF∥CB,   ∴四边形BCEF为平行四边形,   ∴BF=EC=t,   ∴AF=OC=10-t,   ∴△AFO≌△COE,   ∴FO=OE,   ∴△OEF为等腰三角形;   (3)①当0<t<5时,五边形BCEOF的面积为定值,   S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△COE,   由(2)知:△AFO≌△COE,   ∴S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△AFO=S△ABC,   过点A作AH⊥CB于点H,在Rt△AHC中,AH=AC•sin∠ACB=10×45
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