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设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=an²+n,an>0.(1)求a1,a2,a3.(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明
 更新时间:2024-04-26 23:15:18
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问题描述:

设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=an²+n,an>0.(1)求a1,a2,a3.(2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明

钱湘回答:
  根据2Sn=an^2+n   得到2a1=a1^2+1   求得a1=1或a1=-1   又因为an>0所以a1=1   同理求得a2=2a3=3   (2)猜想an=n   证明:因为2Sn=an^2+n……①   那么2Sn-1=an-1^2+n-1……②   ①-②得2an=an^2-an-1^2+1   即(an-1)^2=an-1^2   因为an>0两边同时开方得到:   an-1=an-1   即an-an-1=1   故数列{an}为首项为1,公差为1的等差数列   那么an=1+(n-1)*1=n   证毕
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