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设函数y=f(X)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立(1)求证:f(1)=f(_1)=0,且f(1/x)=-f(x)(x≠0)(2)判断f(x)的奇偶性(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,解不等式f(1/x)-f(2x-1)≥0
 更新时间:2024-04-27 08:25:08
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问题描述:

设函数y=f(X)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立

(1)求证:f(1)=f(_1)=0,且f(1/x)=-f(x)(x≠0)(2)判断f(x)的奇偶性(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,解不等式f(1/x)-f(2x-1)≥0

黄莹回答:
  (1)由y=f(X)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立设x=1y=1∴f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(1)=0设x=-1y=-1∴f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0∴f(-1)=0∵f(1)=f(x*1/x)=f(x)+f(1/x)=0∴f(1/x)=-f(x)(x≠0)(2)f(1)=f(-1)=0是偶函数(3)∵是偶函数在(0+∞)上递增,∴在(-∞0)上递减当X>0时f(1/x)-f(2x-1)≥0∴1/x≥2x-1解得x∈(01]或[-1/2-∞)∴x∈(01]当x
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