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已知:(1)正方形ABCD中,BD为对角线,把△ABD延AB向右平移至图1的位置,得到△EFG,直线EG、BC交于点H,连AH、CG,则AH与CG有怎样的关系?直接写出你的结论.(2)当△ABD平移到线段BA的延
 更新时间:2024-04-27 03:23:42
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问题描述:

已知:(1)正方形ABCD中,BD为对角线,把△ABD延AB向右平移至图1的位置,得到△EFG,直线EG、BC交于点H,连AH、CG,则AH与CG有怎样的关系?直接写出你的结论.

(2)当△ABD平移到线段BA的延长线上时(如图2),(1)中的结论是否还成立?说明你的理由.

(3)当正方形ABCD改为矩形ABCD,且AB=nBC(n≠1)时,连对角线AC,将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG,再将它沿直线AB向左平移(如图3),EG和BC交于点H,连AH、CG,问此时AH和CG有怎样的关系?证明出你的结论.

冯妙媛回答:
  (1)AH=CG,AH⊥CG;   ∵正方形ABCD,   ∴AB=BC,∠ABC=∠ABH=90°,∠ABD=∠FGE=45°,   ∴∠AGB=∠FGE=45°,   ∴BG=AB,   ∴△ABH≌△CBG,   ∴AH=CG,∠HAB=∠GCB,   在Rt△ABH中,∠HAB+∠AHB=90°,   ∴∠GCB+∠AHB=90°,   ∴AH⊥CG;   (2)成立.延长CG交AH于点K,   ∵正方形ABCD,   ∴AB=BC,∠ABC=∠ABH=90°,∠ABD=∠FGE=45°,   ∴∠AGB=∠FGE=45°,   ∴BG=AB,   ∴△ABH≌△CBG,   ∴AH=CG,∠HAB=∠GCB,   在Rt△ABH中,∠HAB+∠AHB=90°,   ∴∠GCB+∠AHB=90°,   ∴AH⊥CG;   (3)AH=nCG,AH⊥CG,   证明:∵BH∥EF,   ∴∠EFB=∠CBG,   又∵∠EGF=∠HGB,   ∴△BGH∽△FGE,   ∴BGBH=FGEF
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