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【设xy满足约束条件x-y+2≥0,4x-y-4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=x/m+y/n(m>0,n>0)的最大值为4,则以根号二为底(2m+n)的最小值为?】
 更新时间:2024-05-08 05:02:07
1人问答
问题描述:

设xy满足约束条件x-y+2≥0,4x-y-4≤0,x≥0,y≥0,若目标函数z=x/m+y/n

(m>0,n>0)的最大值为4,则以根号二为底(2m+n)的最小值为?

唐庾梅回答:
  满足{x-y+2≥0,4x-y-4≤0,x≥0,y≥0,   的可行域为一个四边形OABC及其内部   四边形顶点O(0,0),A(1,0),B(2,4),C(0,2)   目标函数z=ax+by(a>0,b>0)   取得最大值时,最优解为B(2,4)   ∴zmax=2a+4b=6   ∴a+2b=3   ∴1/3(a+2b)=1   ∴1/a+2/b=1/3*(1/a+2/b)*(a+2b)   =1/3(1+4+2b/a+2a/b)   根据均值定理   2b/a+2a/b≥2√(2b/a+2a/b)=4   当a=b=1时,取等号   ∴1/3(1+4+2b/a+2a/b)≥3   ∴log₃(1/a+2/b)≥log₃3=1   即a=b=1时,log₃(1/a+2/b)取得最小值为1   向左转|向右转
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