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椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点M与两焦点F1,F2所成的角∠F1MF2=a,求证△F1MF2的面积为b2tana2.
 更新时间:2024-04-27 22:31:56
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问题描述:

椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点M与两焦点F1,F2所成的角∠F1MF2=a,求证△F1MF2的面积为b2tana2.

冯念真回答:
  设|MF1|=m,|MF2|=n,则m+n=2a,   ∴m2+n2+2mn=4a2,   在△△F1MF2中根据余弦定理可知cosα=m2+n2−4c2 2mn=4(a2−c2)−2mn2mn=2b2−mnmn   ∴mn=2b2cosα+1=2b22cos2 α2=b2cos2α2   ∴△F1MF2的面积为12mnsinα=b22sinα2cosα22cos2α2=b2tan4(a2−c2)−2mn2mn0
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