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【设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,求常数λ,μ】
 更新时间:2024-03-28 16:49:24
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问题描述:

设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,求常数λ,μ

顾爱华回答:
  y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解,   所以,   y1'+p(x)y1=Q(x)   y2'+p(x)y2=Q(x)   λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,   所以,   (λy1+μy2)'+p(x)(λy1+μy2)   =λ[y1'+p(x)y1]+μ[y1'+p(x)y1]   =λQ(x)+μQ(x)   =Q(x)   ∴λ+μ=1   λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,   所以,   (λy1-μy2)'+p(x)(λy1-μy2)   =λ[y1'+p(x)y1]-μ[y1'+p(x)y1]   =λQ(x)-μQ(x)   =0   ∴λ-μ=0   ∴λ=μ=1/2
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