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(2014•灌南县模拟)某校九年级(1)班数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边BC边的中点O上,从
 更新时间:2024-03-29 18:42:26
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问题描述:

(2014•灌南县模拟)某校九年级(1)班数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:

如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边BC边的中点O上,从BC边开始绕点A顺时针旋转,其中三角板两条直角边所在的直线分别交AB、AC于点E、F.

(1)小明在旋转中发现:在图1中,线段AE与CF相等.请你证明小明发现的结论;

(2)小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上,从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E.当0°<α≤45°时,小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:

BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决:

小颖的方法:将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF(如图2);

小亮的方法:将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG,连接EG(如图3).

请你从中任选一种方法进行证明;

(3)小明继续旋转三角板,在探究中得出:当45°<α<135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.现请你继续探究:当135°<α<180°时(如图4),等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由.

孟海军回答:
  (1)证明:如图1,连接OA.   ∵在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,   ∴∠B=∠C=45°.   又∵点O是BC的中点,   ∴OA=OC,∠EAO=∠C=45°.   ∵∠EOF=90°,   ∴∠AEO=∠B+∠BOE,∠CFO=180°-∠C-(180°-∠BOE-90°)=45°+∠BOE=∠B+∠BOE,   ∴∠AEO=CFO,   在△AEO与△CFO中,   ∠AEO=∠CFO∠EAO=∠COA=OC
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