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已知以下三个方程有公共根:ax²+bx+c=0,bx²+cx+a=0,cx²+ax+b=0.(1)求证:a+b+c=0;(2)求这三个方程的根;(3)求式子(a³+b³+c³)/abc的值要详细过程
 更新时间:2024-04-18 15:06:50
1人问答
问题描述:

已知以下三个方程有公共根:ax²+bx+c=0,bx²+cx+a=0,cx²+ax+b=0.

(1)求证:a+b+c=0;(2)求这三个方程的根;(3)求式子(a³+b³+c³)/abc的值要详细过程

段玉娟回答:
  将三个方程相加,整理得   (a+b+c)x²+(a+b+c)x+(a+b+c)=0   (a+b+c)(x²+x+1)=0   由于x²+x+1=(x+1/2)²+3/4>0,所以只能是   a+b+c=0   所以   (a³+b³+c³)/abc   =[(a³+b³+c³-3abc)+3abc]/abc   =(a³+b³+c³-3abc)/abc+3   =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)/abc+3   =0+3   =3   关于:   a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
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