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已知椭圆x=4cos,y=5sin上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线已知椭圆x=4cos上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线AC的两侧,求四边形ABCD面积的最大值
 更新时间:2024-04-16 17:39:47
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问题描述:

已知椭圆x=4cos,y=5sin上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线

已知椭圆x=4cos上相邻两顶点A,C,又B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线AC的两侧,求四边形ABCD面积的最大值

陈葆珏回答:
  要求多给分!   A,C为椭圆x=4cos,y=5sin相邻两顶点,不妨设为A(0,5),C(4,0).椭圆中心点为(0,0)   请作图看.   B,D为椭圆上两个动点,且分别在直线AC的两侧,不妨设B在AC间的短弧上,D在AC间的长弧上.   设B为(4cosP,5sinP),D为(4cosQ,5sinQ),P在0到90度之间,Q在90到360度之间.   要使四边形ABCD面积的最大,D点应该在第三象限,所以Q在180到270度之间,   AD连线交x轴于点E,CD连线交y轴于点F,   四边形ABCD面积为四个三角形面积之和,分别是三角形AOB,三角形BOC,三角形AEO和三角形CED.   s三角形AOB=4cosP*5/2=10cosP,s三角形BOC=5sinP*4/2=10sinP,   根据直线公式先求出E的坐标为(4cosQ/1-sinQ,0),   s三角形AEO=5*|(4cosQ/1-sinQ)|/2=-10cosQ/1-sinQ,   s三角形CED=5|sinQ|*(4-4cosQ/(1-sinQ))/2=5|sinQ|*(2-2cosQ/(1-sinQ))   =-10sinQ+10sinQcosQ/(1-sinQ)   s三角形AOB+s三角形BOC=10cosP+10sinP=10根号2sin(*+P)
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