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求证当三角形的周长一定时,其面积以正三角形的面积为最大.要详细的证明
 更新时间:2024-03-29 13:13:37
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问题描述:

求证当三角形的周长一定时,其面积以正三角形的面积为最大.

要详细的证明

董博彦回答:
  若三角形的三条边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为:   S=根号[p·(p-a)·(p-b)·(p-c)],其中p为半周长,p=1/2(a+b+c)   这个公式叫海伦公式.有了这个公式,原题的证明就不困难了.   设三角形的周长为a+b+c=2p   则S^2=p·[(p-a)·(p-b)·(p-c)≤p·{[(p-a)+(p-b)+(p-c)]/3}^3(用了“三个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”结论)   ∴S^2≤p^4/27   ∴S≤(根号3/9)·p^2   当且仅当p-a=p-b=p-c,即a=b=c,三角形为等边三角形时,面积取得最大值.
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