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已知F是抛物线y*2=2px(p>0)的焦点,点A(4,2)为抛物线内一定点,点Q为抛物线上一动点,丨QA+QF丨的最小值为8.(1)求抛物线的方程.(2)若O为坐标原点,问是否存在定点M,使过点M的动直线与抛物线交
 更新时间:2024-03-28 16:19:50
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问题描述:

已知F是抛物线y*2=2px(p>0)的焦点,点A(4,2)为抛物线内一定点,点Q为抛物线上一动点,丨QA+QF丨的最小值为8.(1)求抛物线的方程.

(2)若O为坐标原点,问是否存在定点M,使过点M的动直线与抛物线交于B、C两点,且有向量OB乘向量OC等于0?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.

黄一敏回答:
  已知F是抛物线y*2=2px(p>0)的焦点,点A(4,2)为抛物线内一定点,点Q为抛物线上一动点,丨QA+QF丨的最小值为8.由抛物线定义可知:|QF|=Q到准线的距离,过Q做准线的垂线,交点为N,丨QA+QF丨=|AQ|+|QN|,当Q、A、N三点共线时,最小,最小值为4+p/2=8p=8   (1)求抛物线的方程y^2=16x   (2)直线OB:y=kx(k≠±1)直线OC:y=-1/kxB(16/k^2,16/k)C(16k^2,-16k)   直线BC的斜率为:k/(1-k^2)   直线BC的方程为:y+16k=k/(1-k^2)(x-16k^2)当y=0时,x=16,与k无关,即直线过定点(16,0)   当k=±1时直线BC的方程为x=16,也经过点(16,0)   存在定点M,使过点M的动直线与抛物线交于B、C两点,且有向量OB乘向量OC等于0
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