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数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思
 更新时间:2024-04-25 07:00:19
1人问答
问题描述:

数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连结ME,则AM=EC,
易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.   在此基础上,同学们作了进一步的研究:
小题1:小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由
小题2:小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.

赖乙宗回答:
  小题1:正确小题2:正确   (1)正确.证明:在AB上取一点M,使AM=EC,连结ME,∴BM=BE. ∴∠BME=45°.  ∴∠AME=135°.∵CF是外角平分线,                             ∴∠DCF=45°. ∴∠ECF=135°.∴∠AME=∠ECF.∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.∴△AME≌△ECF(ASA).∴AE=EF. (2)正确.证明:在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE.∴BN=BE.∴∠N=∠FCE=45°.∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BE. ∴∠DAE=∠BEA.∴∠NAE=∠CEF.  ∴△ANE≌△ECF(ASA).∴AE=EF.
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