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(2002•桂林)已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.(1)求证:△ABE∽△DBC;(2)已知BC=,CD=,求sin∠AEB的值;(3)在(2)的条件下
 更新时间:2024-03-29 15:00:14
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问题描述:

(2002•桂林)已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E.

(1)求证:△ABE∽△DBC;

(2)已知BC=,CD=,求sin∠AEB的值;

(3)在(2)的条件下,求弦AB的长.

谭震宇回答:
  (1)在△ABE与△DBC中,有∠ABE=∠DBC,∠BAE=∠BDC=90°,根据相似三角形的判定,它们相似;   (2)由△ABE∽△DBC,可知∠AEB=∠DCB,在Rt△DCB中,先由勾股定理求出BD的值,再根据正弦的定义求出sin∠DCB,得出sin∠AEB的值;   (3)求弦AB的长,sin∠AEB的值已求,求出BE的值即可,可以通过求BD、ED得出.   (1)证明:∵BC为半圆的直径,   ∴∠BAE=∠BDC=90°.   ∵D是弧AC的中点,   ∴∠ABE=∠DBC.   ∴△ABE∽△DBC.   (2)【解析】   在RT△DCB中,   ∵∠BDC=90°,BC=,CD=,   ∴BD=.   ∴sin∠DCB=BD:BC=.   ∵△ABE∽△DBC,   ∴∠AEB=∠DCB.   ∴sin∠AEB=.   (3)【解析】   ∵∠AEB=∠DEC,   ∴sin∠DEC=.   ∴EC=1.25,DE=,BD=.   BE=BD-DE=,AB=×sin∠AEB=1.5.
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