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【关于数列和函数已知函数f(x)=x*2+x-1,a、b是方程f(x)=0的两根(a>b),f'(x)=2x+1.设a1=1,an+1=an-f(an)/f'(an)(n=1,2,3.).记bn=ln(an-b/an-a)(n=1,2,3...),求数列{bn}的前n项和Sn.】
 更新时间:2024-04-19 15:30:53
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问题描述:

关于数列和函数

已知函数f(x)=x*2+x-1,a、b是方程f(x)=0的两根(a>b),f'(x)=2x+1.设a1=1,an+1=an-f(an)/f'(an)(n=1,2,3.).记bn=ln(an-b/an-a)(n=1,2,3...),求数列{bn}的前n项和Sn.

陆佩强回答:
  A+B=-1,AB=-1   因A>B,所以B<0<A   a(n+1)=an-f(an)/f'(an)   =an-[an^2+an-1]/(2an+1)   =(an^2+1)/(2an+1)   a(n+1)=(an^2+1)/(2an+1)   其特征方程为x^2+x-1=0   其解为A=-1/2+√5/2,B=-1/2-√5/2   a(n+1)-A=(an^2+1)/(2an+1)-A=(an^2-2A*an+1-A)/(2an+1)   a(n+1)-B=(an^2+1)/(2an+1)-B=(an^2-2B*an+1-B)/(2an+1)   两式相除:   [a(n+1)-A]/[a(n+1)-B]=(an^2-2A*an+1-A)/(an^2-2B*an+1-B)   =(an^2-2A*an+A^2)/(an^2-2B*an+B^2)   =(an-A)^2/(an-B)^2   =[(an-A)/(an-B)]^2   设Cn=(an-A)/(an-B),C1=(a1-A)/(a1-B)=(1-A)/(1-B)=A^2/B^2   Cn=[C(n-1)]^2   =[C(n-2)]^4   ……   =(C1)^[2^(n-1)]   =[(1-A)/(1-B)]^[2^(n-1)]   (an-A)/(an-B)=Cn=[(1-A)/(1-B)]^[2^(n-1)]^[2^(n-1)]
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