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2012年陕西省数学初中毕业学业试卷(副题)25.(本题满分10分)如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB
 更新时间:2024-04-25 06:53:47
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问题描述:

2012年陕西省数学初中毕业学业试卷(副题)

25.(本题满分10分)如图,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M,N.

(1)求证:EM+FN=AB;

(2)求当△ABC面积的最大值;

(3)当△ABC面积最大时,在直线MN上找一点P,使得EP+FP的值最小,求出这个最小值.(结果可保留根号)

罗敏霞回答:
  (3)根据余弦定理有AC²+BC²-AB²=2*AC*BC*cos角ACB   ∵角ACB等于45,AB=1   ∴AC²+BC²-√2*AC*BC=1   ∵AC²+BC²≥2*AC*BC   ∴(2-√2)*AC*BC≤1   即AC*BC≤1+1/√2   ABC面积=1/2*AC*BC*sin角ACB≤(1+√2)/4   当AC=BC时,ABC面积的最大值为(1+√2)/4   作E关于MN的对称点E‘,连E’F与MN的交点P,使EP+FP值最小.
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