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已知定点p(x0,y0)在抛物线y^2=2px(p>0)上,过点p做两直线L1,L2,分别交抛物线于A,B且以AB为直径的圆过点p,证明直线AB过定点
 更新时间:2024-03-29 23:26:38
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问题描述:

已知定点p(x0,y0)在抛物线y^2=2px(p>0)上,过点p做两直线L1,L2,分别交抛物线于A,B且以AB为直径的圆过点p,证明直线AB过定点

李林枫回答:
  证:设定点M坐标为(m,n),动点A坐标(x1,y1),B坐标(x2,y2)   抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,即:   |AF|=x1+p/2,|MF|=m+p/2,|BF|=x2+p/2   由|AF|、|MF|、|BF|三者成等差数列可知,|AF|+|BF|=2|MF|,即:   x1+p/2+x2+p/2=2(m+p/2),化简得m=(x1+x2)/2   A、B两点在抛物线上,∴y1��=2px1,y2��=2px2   两式相减得到:(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)   ∴AB斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)   线段AB的垂直平分线满足:垂直于AB且过AB中点[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]   AB垂直平分线方程为   y=-[(y1+y2)/2p][x-(x1+x2)/2]+(y1+y2)/2   =-[(y1+y2)/2p](x-m-p)   此直线必过定点Q(m+p,0
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