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例8n是正偶数,a1,a2,…,an除以n,所得的余数互不相同;b1,b2,…,bn除以n,所得的余数也互不相同.证明a1+b1,a2+b2,…,an+bn除以n,所得的余数必有相同的.证明∵n是正偶数,所以n-1为奇数,∴不是n的倍数,
 更新时间:2024-03-29 23:11:12
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问题描述:

例8n是正偶数,a1,a2,…,an除以n,所得的余数互不相同;b1,b2,…,bn除以n,所得的余数也互不相同.证明a1+b1,a2+b2,…,an+bn除以n,所得的余数必有相同的.

证明∵n是正偶数,所以n-1为奇数,∴不是n的倍数,

∵a1,a2,…,an除以n,所得的余数互不相同,所以这n个余数恰好是0,1,…,n-1.从而a1+a2+…+an≡0+1+…+(n-1)=0(modn)

同样b1+b2+…+bn≡0(modn)

但(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)

≡≡0(modn)

所以a1+b1,a2+b2,…,an+bn除以n,所得的余数必有相同的.

看不懂,

党新安回答:
  设a1=mn,a2=mn+1.an=mn+n-1;   b1=pn,b2=pn+1.bn=pn+n-1;   因为n是正偶数,所以a(n/2+1)、b(n/2+1)de余数为n/2,同理a(n/2+2)、b(n/2+2)de余数为n/2+1.   则a1+b1,a2+b2,...,a(n/2)+b(n/2)余数分别为   a(n/2+1)+b(n/2+1),a(n/2+2)+b(n/2+2),a(n/2+3)+b(n/2+3)...,an+bn余数也分别为0,2,4,6,8...n-2;   所以所得的余数必有相同的.
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