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已知直线y=-x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B,点B的坐标为(0,6)。(1)求m的值和点A的坐标;(2)在矩形OACB中,点P是线段BC上的一动点,直线PD⊥AB于点D,与x轴交于点E,设BP=a,梯
 更新时间:2024-04-19 12:15:47
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问题描述:

已知直线y=-x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B,点B的坐标为(0,6)。
(1)求m的值和点A的坐标;
(2)在矩形OACB中,点P是线段BC上的一动点,直线PD⊥AB于点D,与x轴交于点E,设BP=a,梯形PEAC的面积为s。
①求s与a的函数关系式,并写出a的取值范围;
②⊙Q是△OAB的内切圆,求当PE与⊙Q相交的弦长为2.4时点P的坐标。

李宏民回答:
  (1)把B(0,6)代入得,得m=6,把y=0代入,得x=8,∴点A的坐标为(8,0);(2)①在矩形OACB中,AC=OB=6,BC=OA=8,∠C=90°,∴AB=,∵PD⊥AB,∴∠PDB=∠C=90°∵∠C=∠BDP,∠CBA=∠DBP,∴△BDP∽△BCA∴∴∴∴又∵BC∥AE,∴△PBD∽△EAD,∴,即∴,∵S梯形PEAC=∴,②⊙Q是△OAB的内切圆,可设⊙Q的半径为r,∵S△OAB=,解得r=2,设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H可知,OF=2,∴BF=BG=OB-OF=6-2=4,设直线PD与⊙Q交于点I、J,过Q作QM⊥IJ于点M,连结IQ、QG,∵QI=2,∴,∴在矩形GQMD中,GD=QM=1.6,∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6,∵△PBD∽△ABC,∴得∴点P的坐标为(7,6),当PE在圆心Q的另一侧时,同理可求点P的坐标为(3,6),综上,P点的坐标为(7,6)或(3,6)。
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