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【已知数列an是首项为a且公比q不等于一1的等比数列sn是其前n项和a12a73a4成等差数列已证得12s3s6s12-s6成等比数列,求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na(3n-2)】
 更新时间:2024-04-25 16:51:41
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问题描述:

已知数列an是首项为a且公比q不等于一1的等比数列sn是其前n项和a12a73a4成等差数列

已证得12s3s6s12-s6成等比数列,求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na(3n-2)

李振富回答:
  a1,a7,a4成等差数列   2a7=a1+a4   2a1q^6=a1+a1q^3   2q^6=1+q^3   2q^6-q^3-1=(2q^3+1)(q^3-1)=0   因为公比Q不等于1,   所以,q^3=-1/2,   2S3*(S12-S6)   =2a1(1-q^3)/(1-q)*[a1(1-q^12)/(1-q)-a1(1-q^6)/(1-q)]   =2a1(1+1/2)/(1-q)*[a1(1-1/16)/(1-q)-a1(1-1/4)/(1-q)]   =[a1/(1-q)]^2[3*(15/16-3/4)   =[a1/(1-q)]^2*9/16   =[a1*(3/4)/(1-q)]^2   =[a1*(1-1/4)/(1-q)]^2   =[a1*(1-q^6)/(1-q)]^2   =S6^2   2S3,S6,S12-S6等比   A(3n-2)=aq^(3n-3)=a(q^3)^(n-1)=a(-1/4)^(n-1)   T(n)=a+2*a(-1/4)+3*a(-1/4)^2+...+(n-1)*a(-1/4)^(n-2)+n*a(-1/4)^(n-1)   (-1/4)T(n)=1*a(-1/4)+2*a(-1/4)^2+3*a(-1/4)^3+...+(n-1)*a(-1/4)^(n-1)+n*a(-1/4)^n   T(n)-(-1/4)T(n)=a+a(-1/4)+a(-1/4)^2+...+a(-1/4)^(n-1)-n*a(-1/4)^n=a[1-(-1/4)^n]/[1-(-1/4)]-n*a(-1/4)^n   =4a[1-(-1/4)^n]/5-na(-1/4)^n,   T(n)={4a[1-(-1/4)^n]/5-na(-1/4)^n}*[1/(1+1/4)]   ={4a[1-(-1/4)^n]/5-na(-1/4)^n}*4/5   =16a[1-(-1/4)^n]/25-4na(-1/4)^n/5
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