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已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1,F2,p是直线l:x=a²/c(c²=a²+b²)上的一点,且PF1⊥PF2,绝对值PF1乘绝对值PF2=4ab,则离心率是?
 更新时间:2024-04-25 10:17:45
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问题描述:

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1,F2,p是直线l:x=a²/c(c²=a²+b²)上的一点,且PF1⊥PF2,绝对值PF1乘绝对值PF2=4ab,则离心率是?

高智杰回答:
  直线l与x轴交点M,∵PM⊥F1F2,PF1⊥PF2,∴2*F1F2*PM=S△PF1F2=2*PF1*PF2   ∴2*2c*PM=2*4ab,∴PM=2ab/c,   ∴k(PF1)*k(PF2)=-1={(2ab/c)/[(a^2/c)+c]}*{(2ab/c)/[(a^2/c)-c]}   ∴c^2-(a^4/c^2)=4(ab)^2/c^2,∴c^4-a^4=4a^2b^2=4a^2*(c^2-a^2)   ∴c^4-4a^2c^2+3a^4=0,结合c>a取正数解c^2=3a^2,∴e=√3
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