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如图:ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的两点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.(1)求证:四边形AECG是平行四边形.(2)若AB=4cm,BC=3cm,求线段EF
 更新时间:2024-03-28 17:52:07
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问题描述:

如图:ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的两点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.

(1)求证:四边形AECG是平行四边形.

(2)若AB=4cm,BC=3cm,求线段EF的长.

还有一个

若AB3cmBC长为多少时,四边形AECG是菱形

何贤强回答:
  (1)   证明:   ∵矩形ABCD中   AD=BC∠D=∠B=90°AB‖CD   ∴∠DCA=∠CAB   又∵三角形AGH由三角形ADG折叠而得   ∴AD=AHGH⊥AC∠GHA=90°   同理BC=CFEF⊥AC∠EFC=90°   ∴AH=CF   ∴AF=CH   ∴在三角形AFE与三角形CHG中   ∠FAE=∠HCG   CH=AF   ∠AFE=∠CHG   ∴三角形AFE≌三角形CHG(ASA)   ∴AE=CG   ∴四边形AECG为平行四边形   (2)在三角形ABC中   AB=4cmBC=3cm   由勾股定理得AC=5cm   ∵由(1)得   CH=BC=3cm   EF=BE   ∴AF=2cm   设EF为Xcm   则AE为(4-X)cm   2的平方+x的平方=(4-x)的平方   x=1.5   即EF为1.5cm   (3)   当平行四边形AECG为菱形时   AE=CE   即三角形AEC为等腰三角形   ∵EF⊥AG   ∴EF为三角形ACE中AC边上的中线   即AF=FC=二分之一的AC   设BC为ycm   则AC=2ycm   (2y)的平方=3平方+y的平方   y1=根号3y2=-根号3(舍去)   ∴BC=根号3cm
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